よくある円のパターン 〇〇をみつけろ！ 灘高校
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- Опубликовано: 7 фев 2025
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雑に図形描いてもちゃんと修正してくれるのですね！ 電子黒板優秀だなぁ。
51歳のオジサンです。
私の時代は、接弦定理は
中3の教科書で習いましたが、
近年では、高校の数学Aの内容なんですね…。
難関高校の入試問題を接弦定理、点と直線の距離の公式、ベクトルを使った三角形の面積の公式などで楽に解かせる方法は、一部の塾では普通に教えてくれるね。
次回、「なぜ？」と言われても、「神様が三角形をそういう風に作ったから」としか言えねえ❗
中学の知識での解法が分からず、三角関数ごり押しで解きました。難しかったです。
動画のとおり相似を使って
BC : CT = 1 : 2
を見つければ
BC = x
CT = 2x
と置いて，方べきの定理で
CT^2 = CB * CA
なので
4x^2 = x(x + 2)
これを解いて
x = 2/3
もしくは，補助線OTを引いて
∠OTC = 90°
なので，△OTCで三平方の定理を使って
1 + 4x^2 = (1 + x)^2
これでも同じ方程式が得られます。
先生の示された△TBC∽△ATC対応する辺の比が 1 : 2 を使うと面積比は
△TBC : △ATC ＝ 1 : 4
これより △ATBと△TBCの面積比は 3 : 1
従って AB : BC ＝ 3 : 1
よって 2 × 1/3 ＝ 2/3
電子黒板には図形修正機能がついているのか？
すごいなぁ👍
相似を見つけられればむずくはないね。
接弦定理がでると灘だなあと思いますが比で〇▢を使うと急に算数ぽくなるのがミソですね。
中学生の知識で接弦定理導けます。
円の中心から接線に補助線を引けば、
90度から共通の角を引いたものと
△AOTが二等辺三角形であることから
自ずと接弦定理を導くことできます😀
またBCをX、TCを三平方の定理から
導き出せるルートの形に置くことできたら、時間は多少要しますが、a:b＝c:dの形でBCの長さが求めることできます😀
高校入試で接弦定理?
反則っぽいような気がします。
TからACに垂線AHおろして、
2種類の直角三角形の相似で
OCを求めて解けます。
あと、点Oを原点にしたxy平面座標使うのが
中学生にも分かりやすいと思います。
ちなみに、高校生に説明するなら
自分なら三角関数使います。
∠TABをθとおく。∠TOB＝2θ であり、
OCcos2θ＝OT＝1
cosθ＝2/√5
sinθ＝1/√5
よりcos2θ＝3/5
なので、OC＝5/3 となり、
BC＝OC−OB＝5/3−１＝2/3
と説明するかもしれません。
中学数学の参考書に「発展」と掲載ありだし、塾でも習うから問題ないだろ。中学数学で応用と扱うか発展と扱うか曖昧だから線引きするのは難しいんだよ。
@@tanakayujirou2853 さん
教科書にも載ってますね。もちろん「発展」として。方べきの定理も載ってます。
最難関レベルを目指すなら教科書に載ってることは全部できるようにしておかないと厳しいですよね。
@@tanakayujirou2853
受験の時の解答なら接弦定理使うのはかまわんよ。
むしろ、積極的につかいなはれ。
俺も真っ先に思いついた解法は接弦定理だし。
でもね、この問題、
接弦定理使わなくても、
円の半径と接線が直交するという知識があれば、
っていうか書き加えれば、
小学生でも解くことができるんですよ。
だからこそ、接弦定理に頼り切る必要なくね？
しかも、Tで２種類の直角が作れるじゃん。
∠OTCも直角なんだし、2種類の直角で作られる
直角三角形もAC上に表れるから
TからAC上に垂線THひけば
接弦定理使わなくても簡単に解けるっぽいよね
って感覚磨くのを今ならできそうちゃう？
って感じたので、反則っぽいと表現しました。
誤解や偏見を与えてしまったとしたらスミマセン。
@@maronsibaつーか、スイマセンと謝るなら最初から言うな。中学生が高校数学を学んではいけないなんて決まりはないんだし、数学が得意な子は勉強しているんだよ。あんたは典型的な律儀を守らないといけない文系人間だから仕方ないのか。
@@springroll2624その通り。
難関校の場合、私立中学もあるため中学の時点で勉強しているのが実情だから「知ってて当たり前」前提で出題してきますね。
余弦定理が思いつかなくても、OTとBからTCに垂線を下ろした2本の補助線で相似を作って解けない事はないですってか俺そうしました😅😅
方べきの定理使って終わりと思ったのですが、相似比が必要なのですぐには解けないというのが難関高らしいですね。方べきの定理をそのまま暗記しただけの人を篩にかける、いい問題だと思いました。
BからCTに垂線を引いて1:2:√5の三角形との相似で考えたが、わざわざ分割する必要は無かったですね。面倒くさいことをしてしまいました。
この問題で、接弦定理を知らなくても∠ATO = TAO, ∠ATB = ∠OTC = 直角から∠TAO = ∠BTCが示せるので、設問としては成り立つ。一般の高校入試なら誘導問題としてこれを出して、次にBCを求めさせる、になりますかね。
次、
問題を「・・・一点で交わることを示せ」、と解釈するならば、
三角形の二つの角の二等分線の交点と各辺への垂線、残りの角を結ぶ直線を引き、直角三角形の合同条件から示すことができる。
この問題ってOT⊥TCに気づけるの？
ってことじゃないでしょうか。
これ分かれば、
TからAC上に垂線THをひき
△THB∽△ATBより、
HB＝2/5、HT＝4/5 であり、OH＝3/5
△OHT∽△OTCより OC＝5/3
よって、BC＝2/3
って考えてました。
同じく相似比を利用しましたが、AC:TC=TC:BC=2:1なのでBCをxと置いてから(2+x)/2=2xという式を立てました。
345の3と5の二等分線で1：2：√5の直角三角形ができる。
これが頭にあれば、△TOCは345直角三角形と瞬時に判る。
点Bから直線TCに垂線をおろした点をDとした時、直線OTとBDが平行になることを利用して相似と三平方の定理を駆使して解きました
結果BDの長さは2/5になります
ちなみに直角三角形BDCの辺の比率が3:4:5になるので面白い形だなと思いました😊
∠TOBは∠TABの倍ですので、三角関数でCOSの倍角で解きました。実は・・・相似を見つけることができなかったため。くやしい。
接弦定理は名前こそ覚えてなかったですが、どこの角が等しくなるかは覚えてましたが相似には気が付かなかったです。自分は方べきの定理と三平方の定理で求める方法が思いつきました。実際に計算はしてないですが、二次方程式が出てくるので面倒です。
BC＝ｘとおいて方程式立てて求めましたが，さすがというべきか，相似の三角形の辺の比からだけで求まるのか😢
次の問題は，
「任意の二つの角の二等分線が一点で交わる」ことは，さすがに使っていいのですよね？
解説の通りで相似関係を使って解いたのですが…
接弦定理って、中学校の数学で習いましたっけ？
灘だから
○、×、90° を使えば接弦定理を使わなくても同様のことはできますね。
∠OAT = ∠OTA = ○
∠OBT = ∠OTB = ×
∠ATB = ∠OTC = 90°
したがって ∠BTC = ○
中学数学の参考書で「発展」として掲載あり。
授業では習わないけど、接弦定理と方べきの定理は中３教科書の発展のページに載ってます。
公立校でも成績上位の子は自分で勉強してるんじゃないかな？
@@springroll2624まさに仰る通り。数学得意な人は勉強しているし、私立高校入試は知識が求められる。
裏返しの相似はうっかり見落しとしました。△ＴОＣと△ＴＳＣ（”Ｓ”はＢからＴＣへの垂線）のピラミッド型相似で求めました。裏返し相似の解説だったので、あっ間違えたかと思いましたが、何とかセーフ。
解けた
これ程度なら難関校受験者は解けないといけませんね
次回の問題
内心の原理を説明しろということか
これはムズい・・・